... sondern nur lückenlose Nachvollziehbarkeit.
So gesehen, ist es das Einfachste, Klarste auf der Welt.
Das Unbehagen das viele beim Gedanken an Mathematik haben, kommt oft auch von Lehrern, die nicht lehren, sondern vortragen.
Jedes Kind freut sich, wenn es bis 100 zählen kann. Deshalb sollte es in jedem Haushalt einen mathematischen Beweis geben. (In der Hausapotheke oder in der Schatzschatulle aufbewahren).
Jedes Kind begreift, dass es unendlich viele und somit auch unendlich lange Zahlen gibt, denkt man sich diese normal geschrieben.
(Wir reden hier nur von ganzen Zahlen. Also nicht von Brüchen oder Dezimalbrüchen).
Zu jeder Zahl kann man immer noch 1 addieren. Leicht einzusehen ist auch, dass sich gerade und ungerade Zahlen abwechseln.
Wenn m eine gerade Zahl ist, ist ihre Nachfolgerin, m+1, eine ungerade Zahl (z. B. 2+1 = 3).
Wenn m eine ungerade Zahl ist, ist ihre Nachfolgerin, m+1, eine gerade Zahl (z. B. 101+1 = 102).
(Eine Zahl nennt man gerade, wenn sie ohne Rest durch 2 teilbar ist).
In der Mathematik zählen nicht:
Behauptungen, Expertenmeinungen, Imponiergehabe, Autorität, Rhetorik,
Dialektik, Beredsamkeit, Dogmen, Lehrmeinung ...
Auf den ersten Blick vermitteln mathematische Texte oft Respekt. Warum? Weil man nichts versteht. Warum? Weil es sich zunächst um eine eigene Sprache handelt, mit eigenen Zeichen und Symbolen.
Mathematik lernt man nicht durch zuhören und zusehen, sondern durch selber denken und tun. Dazu müssen Schüler animiert werden.
Ich habe hier einen besonders leichten. Das heisst die Problemstellung ist leicht zu verstehen und der Beweis ist leicht nachzuvollziehen.
Sei m irgendeine ganze Zahl, gerade oder ungerade. Dann ist 2.m eine gerade Zahl und
(2.m)2
=22.m2= 2.(2.m2),
und das ist auch gerade. (Durch 2 teilbar).
Weil das so leicht geht, jetzt noch den ungeraden Fall:
Die in a) und b) erhaltenen Resultate braucht man zum Beweis, dass √2 (die Quadratwurzel aus 2) keine rationale Zahl ist.
Dass es, mit anderen Worten, keine zwei ganze Zahlen a und
b gibt
(obwohl die Auswahl unendlich gross ist),
so dass (a/b)2 = 2 ist.
Wir nehmen an, es gibt zwei solche Zahlen und beweisen durch logisches Schließen, daß die Annahme zu einem Unsinn führt. (Wenn es zwei gibt, dann gibt es unendlich viele, da beide mit der gleichen Zahl multipliziert wieder ein gleichwertiges Paar ergeben.) Wir nehmen die zwei kleinsten Zahlen mit dieser Eigenschaft. Das heisst, der Bruch a/b liege in gekürzter Form vor. Insbesondere können dann nicht beide gerade sein, also den Faktor 2 besitzen.
Höchstens eine der Zahlen a oder b ist also
gerade, und sie haben die Eigenschaft, dass
(a/b)2 = 2 gilt;
d. h.
a2/b2 =2 , d. h.
a2 = 2. b2 (1)
Somit ist
a2 eine gerade Zahl,
daher ist auch a gerade. (Das folgt aus dem oben Bewiesenen).