Skalar, Vektor, Tensor
Der Mensch braucht Bewegung und Abenteuer im Kopf !
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Wir betrachten im Bild links die Ebene einer Planetenbahn.
Konstant ist hier nur die Geometrie der Ellipse. Alle anderen Grössen ändern sich dauernd.
Die Polargleichung für die Planetenbahnen lautet r = p/(1 - ε cos β). Dabei ist r der Betrag (Skalar) des Radius-vektors r.
Der Geschwindigkeits-vektor v ist zu jeder Zeit tangential zur Umlaufbahn. Die 2 Winkel von der Leitlinie von v zu r einerseits und zur Line F2 - Planet andererseits, sind gleich - (in der Sternwarte Kremsmünster gibt ein Flüstergewölbe; zwei Personen in F1 bzw. F2 können sich flüsternd unterhalten) - ihr Wert α ändert sich aber auch kontinuierlich.
Konstant ist hier nur die Geometrie der Ellipse. Alle anderen Grössen ändern sich dauernd.
Die Polargleichung für die Planetenbahnen lautet r = p/(1 - ε cos β). Dabei ist r der Betrag (Skalar) des Radius-vektors r.
Der Geschwindigkeits-vektor v ist zu jeder Zeit tangential zur Umlaufbahn. Die 2 Winkel von der Leitlinie von v zu r einerseits und zur Line F2 - Planet andererseits, sind gleich - (in der Sternwarte Kremsmünster gibt ein Flüstergewölbe; zwei Personen in F1 bzw. F2 können sich flüsternd unterhalten) - ihr Wert α ändert sich aber auch kontinuierlich.
Schließlich haben wir noch die entgegengesetzten Kraftvektoren K und -K. Die Beträge (Skalare) der Kräfte
mit denen sich Sonne und Planet gegeseitig anziehen, sind gleich. Nach dem zweiten der drei von Isaac Newton (1643-1727) gefundenen
Bewegungsgesetze treten Kräfte immer paarweise entgegengesetzt auf.
Nachdem Tycho Brahe (1546-1601) in jahrzehntelanger Arbeit Planetenbewegungen beobachtet und Daten aufgezeichnet hatte, konnte Johannes Kepler (1571-1630) darauf aufbauend die Planetenbahnen als Ellipsen entlarven (siehe Kepler'sche Gesetze).
Bis dato hatte man vermutet, daß es Kreise sind. Was man immer noch nicht wußte war, warum das so ist. Isaac Newton erkannte, daß sich Massen anziehen und konnte mit dem von ihm gefundenen Gravitationsgesetz die Planetenbahnen erklären.
Wir bemerken, daß sich die Größen K, -K, r und v nicht durch eine bloße Zahl ausdrücken lassen. Um sowohl den Betragswert als auch die Richtung in einem Symbol auszudrücken, braucht man drei Zahlen, eine Zahlentripel (x, y, z), einen Vektor genannt, bildlich dargestellt als Pfeil, dessen Länge den Betrag ausdrückt.
Dieser Betrag ist z.B. das Tempo oder der Speed, im Falle der Geschwindigkeit. Wie kommt es aber, daß mit dieser eigenen Art von ″Zahlen″, die eigentlich aus drei Zahlen bestehen, eine Richtung ausgedrückt werden kann? Und wieso einmal Zahlentripel einmal Pfeil? Und wie kann man damit rechnen? Wen das interessiert, sollte unbedingt weiterlesen!
Nachdem Tycho Brahe (1546-1601) in jahrzehntelanger Arbeit Planetenbewegungen beobachtet und Daten aufgezeichnet hatte, konnte Johannes Kepler (1571-1630) darauf aufbauend die Planetenbahnen als Ellipsen entlarven (siehe Kepler'sche Gesetze).
Bis dato hatte man vermutet, daß es Kreise sind. Was man immer noch nicht wußte war, warum das so ist. Isaac Newton erkannte, daß sich Massen anziehen und konnte mit dem von ihm gefundenen Gravitationsgesetz die Planetenbahnen erklären.
Wir bemerken, daß sich die Größen K, -K, r und v nicht durch eine bloße Zahl ausdrücken lassen. Um sowohl den Betragswert als auch die Richtung in einem Symbol auszudrücken, braucht man drei Zahlen, eine Zahlentripel (x, y, z), einen Vektor genannt, bildlich dargestellt als Pfeil, dessen Länge den Betrag ausdrückt.
Dieser Betrag ist z.B. das Tempo oder der Speed, im Falle der Geschwindigkeit. Wie kommt es aber, daß mit dieser eigenen Art von ″Zahlen″, die eigentlich aus drei Zahlen bestehen, eine Richtung ausgedrückt werden kann? Und wieso einmal Zahlentripel einmal Pfeil? Und wie kann man damit rechnen? Wen das interessiert, sollte unbedingt weiterlesen!
Angeregt durch das Jahr der Astronomie 2009, wollen wir bis Jahresende auf dieser Seite wöchentlich ein paar Feinheiten
über kartesiche Vektoren und Tensoren bringen. Der Zugang soll intuitiv und spielerisch, ohne formale Detailkramerei sein, für
alle verständlich, die ein wenig rechnen können. Auf Fragen wird aber gerne eingegangen. Je öfter wir die Lektion
durchlesen, je vertrauter wird uns die Sache werden!
NASA: Fragen
NASA: Suche
NASA: Jahr der Aspronomie
NASA: Kepler
Die Nummern der Kapitel, Abbildungen und Gleichungen können z. T. fehlen oder nicht stimmen, weil die Wochenbeiträge unabhängig voneinander gedruckt werden.
Die Auflösungen zu den Übungsbeispielen kommen jeweils in der folgenden Woche.
Woche 1: (30. 03. 2009, Fassung vom 02. 07. 2009)
Woche 2: (06. 04. 2009, Fassung vom 17. 04. 2009)
Woche 3: (13. 04. 2009, Fassung vom 17. 04. 2009)
Woche 4: (20. 04. 2009, Fassung vom 21. 04. 2009)
Woche 5: (27. 04. 2009, Fassung vom 28. 05. 2009)
Woche 6: (04. 05. 2009, Fassung vom 08. 12. 2009)
Woche 7: (11. 05. 2009)
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Woche 10: (01. 06. 2009)
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Woche 12: (15. 06. 2009)
Woche 13: (22. 06. 2009)
Woche 14: (29. 06. 2009)
In den Monaten Juli, Ausgust, September ist Sommerpause. Nächster Beitrag am Montag den 5. Oktober 2009.
Woche 15: (05. 10. 2009)
Woche 16: (12. 10. 2009)
Woche 17: (19. 10. 2009)
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Woche 26: (21. 12. 2009)
Woche 27: (28. 12. 2009)
Das Jahr der Asronomie geht zu Ende und unsere wöchentlichen Artikel auch. Jetzt würde es natürlich erst so richtig interessant. Aber das Interesse lag mehr bei den Grundlagen und das ist auch gut. Wer will, kann eine Zusammenfassung der Artikel bekommen, bei der dann auch die Gleichungsnummern und Hinweise auf Abbildungen zusammenstimen.
Literatur zum Thema
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Literatur zum Thema
